Inégalités, inéquations

Objectifs

Majorer, minorer, encadrer, voici les techniques de base de l'analyse et ce cours a pour but de vous présenter ces techniques et de vous y entraîner. Il fournira une approche de la notion de limite. Il s'agit d'un cours d'approfondissement, notamment en ce qui concerne la difficulté des exercices. Il s'adresse à des étudiants post-bac, ayant une certaine pratique des inégalités.

Pour une approche basique des notions d'inégalités, intervalles et encadrements, on consultera avec le plus grand profit du cours DOC Inégalités, intervalles, inéquations .

Sommaire

A. Inégalités. Encadrements. Inéquations

  1. Encadrements
  2. Bornes d'une partie, d'une expression
  3. Borner une fraction
  4. Techniques d'encadrement
  5. Exercices de déduction d'inégalités simples
  6. Autres exercices classiques
  7. Inéquations : Exercices
  8. Inéquations avec paramètres

B. Implication entre inégalités

  1. Quel est le problème ?
  2. Quelles sont les méthodes ?
  3. Majoration sous condition

C. Applications aux limites.

  1. Limite finie d'une suite
  2. Limite infinie d'une suite
  3. Théorème de comparaison pour les suites
  4. Une définition de limite
  5. Méthode
  6. Un exemple simple
  7. Approche de la définition de la limite
  8. Interprétation

Encadrements

Voici quelques exercices pour tester vos connaissances et votre pratique des inégalités. Si vous rencontrez des difficultés ou que vous manquiez d'assurance, n'hésitez pas à consulter les parties [A], [B] et [C] du cours Activité inconnue .

Exercices. Ces exercices proposent d'encadrer des expressions en x et y connaissant un encadrement des nombres réels x et y.
  1. Encadrement d'une différence
  2. Encadrement de |x|
  3. Encadrement d'un carré
  4. Encadrement d'un produit
  5. Encadrement 1
  6. Encadrement 2
  7. Zone d'inégalité

On rappelle les résultats suivants que l'on cherchera à démontrer pour une meilleure appropriation.

Majoration, minoration des valeurs absolues.
Que se passe-t-il si b est strictement négatif ?

Pour le calcul propositionnel, les ET et OU, consultez cette page .

Bornes d'une partie, d'une expression

Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la page encadrement du cours Activité inconnue .

Définitions. Dans ce cours, on se place dans , ordonné par la relation leq. Soit une partie non vide de .
  1. On dit que est majorée dans s'il existe un réel M, appelé majorant de , tel que tous les éléments de sont inférieurs ou égaux à M.
  2. On dit que est minorée dans s'il existe un réel m, appelé minorant de tel que tous les éléments de sont supérieurs ou égaux à m.
  3. On dit que est bornée dans s'il existe deux réels m et M tels que tous les éléments de sont supérieurs à m et inférieurs à M.
Exercice 1. Majoration et union
Exercice 2. On considère l'ensemble . Quels sont les minorants et les majorants de A?

Tous les réels de : [[ sont des majorants de A. Ceux de : ] - ] en sont des minorants.
On notera que appartient à A, mais que -1 n'y appartient pas.

Exercice 3. On considère l'ensemble . Quels sont les minorants et les majorants les plus précis de X?

il est facile de voir que X est minoré par 0, et majoré par 2 puisque p et q sont supérieurs ou égaux à 1
Le maximum 2 est atteint pour p=q=1, c'est donc le meilleur possible (et il appartient à X ).
Si on fait tendre p et q vers , on voit que tend vers 0, d'aussi près que l'on veut. 0 est donc le meilleur minimum (mais il n'appartient pas à X).

Borner une fraction

Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la page A.5 et les parties B et C du cours Activité inconnue .

On donne une fraction, un rapport du type . Il s'agit d'encadrer cette expression en la majorant et la minorant.

Règles.
  1. Pour majorer un rapport ou une fraction positive , on peut :
    • Soit majorer son numérateur A.
    • Soit minorer son dénominateur B.
  2. Pour minorer une fraction positive , on peut :
    • Soit minorer son numérateur A.
    • Soit majorer son dénominateur B.
  3. Pour encadrer une fraction, il suffit de la majorer en valeur absolue :

Attention ! Si une fraction est négative, les règles ci-dessus ne s'appliquent pas. On aura tout intérêt à majorer la fraction en valeur absolue, puis à examiner ensuite son signe.

Exemples.

1. Exemple d'encadrement de la fraction : En appliquant ces règles, on peut écrire les inégalités suivantes :

leq

2. Encadrons la fonction , pour tout x réel. Comme n'est pas de signe constant, nous cherchons à majorer :

.

On obtient ainsi l'encadrement : , pour tout x réel.
Exercices.

Techniques d'encadrement

Voici quelques outils complémentaires pour majorer, minorer, encadrer.

Etude d'une fonction

L'étude d'une fonction sur un intervalle I permet d'obtenir un encadrement des valeurs prises par cette fonction : le maximum et le minimum (ou une borne inf et une borne sup) de la fonction sur l'intervalle. On peut aussi être plus précis en se restreignant à une partie de l'ensemble de définition pour avoir un encadrement local.

Exemple. Trouver un encadrement de la fonction f, définie sur par

L'étude (simple) et le tableau de variation permettent de montrer l'encadrement :
Ce qui est confirmé par la représentation graphique de la fonction,

figure

Recherche du signe d'une différence

Pour montrer que, pour tout x dans un intervalle I, on a , on peut étudier le signe de la différence f(x)-g(x) sur I. Si cette différence reste toujours négative, l'inégalité est prouvée sur un intervalle I.

Exemple. Montrer que :

On introduit les deux fonctions et que l'on étudie sur . On démontre aisément les inégalités et , pour tout x dans .

L'inégalité des accroissements finis

Rappelons son énoncé :
Théorème. Inégalité des accroissements finis.
Soit une fonction f définie sur un segment , avec a < b, à valeurs dans , continue sur , dérivable sur et dont la dérivée est bornée sur . Alors :

Exercice. Montrer :

Utiliser le théorème précédent en différenciant les deux cas : sur pour , et sur pour

Utiliser des arguments de convexité

On rappelle que si une fonction est convexe sur un intervalle I (par exemple, si elle est deux fois dérivable avec une dérivée seconde positive sur I) alors sa représentation graphique est au-dessus de toutes les tangentes en tout point de I, et au-dessous de toutes les cordes joignant deux de ses points.

Exercices.
1- Montrer :

On remarquera que la fonction est convexe sur .


2-Montrer :

Pour l'inégalité de gauche, s'intéresser à la tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle (convexe, car sa dérivée seconde est strictement positive) au point (0,1)... Pour l'inégalité de droite, utiliser le point 2 de cette page.

Intégration et inégalité de la moyenne

Rappelons un énoncé du théorème :
Théorème. Inégalité de la moyenne Soit a et b deux réels avec a < b, et f une fonction continue sur l'intervalle . S'il existe deux réels m et M vérifiant : , alors on a :

Exercice. Montrer que :

Remarquer que la fonction à intégrer est monotone...

Exercez vous sur les pages suivantes qui proposent de nombreux exercices.

Exercices de déduction d'inégalités simples

Les exercices qui suivent demandent de montrer des résultats simples, mais obligent à décomposer en étapes et à réfléchir à chaque instant aux méthodes que l'on utilise.
Exercices de déduction (I).
Exercices de déduction (II). Un pot pourri d'inégalités à résoudre
Exercices (III). Inégalités classiques et méthodes.
  1. Inégalité triangulaire :
    Soient x et y deux réels quelconques. Montrer que :

    - Pour l'inégalité de droite, élever au carré (raisonner par équivalence)
    - Pour l'inégalité de gauche, reprendre l'inégalité de droite (qui a donc été démontrée ) en écrivant que x +y-y = x..., puis permuter x et y.


    On pourra aussi démontrer la double inégalité presque identique :
  2. Inégalité de Bernoulli.
    et . Montrer, par récurrence, que
  3. Inégalité de Cauchy-Schwarz.
    Soit , montrer que pour tout entier naturel i, et pour tout couple :

    On développera l'expression où , en faisant apparaitre un trinôme du second degré en , sur lequel on fera une remarque judicieuse.

  4. Une application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
    Soient x1, x2 et x3 des réels tels que x1 + x2 + x3 = 2 et x12 + x22 + x32 = 12.
    Quelle est la valeur maximale de x3?

    L'inégalité de Cauchy-Schwarz avec deux termes, élevée au carré, donne :
    Puis faire : y1 = y2 = 1.

  5. Une autre application de l'inégalité de Cauchy-Schwarz.
    Soient x1, x2 et x3 des réels strictement positifs. Montrer que :

Autres exercices classiques

Exercice 1. Montrer que :

Puisque c'est possible, élever au carré, puis conclure.

Exercice 2. Montrer que : Indication : Théorème des accroissements finis

On applique le théorème des accroissements finis à la fonction f : sur l'intervalle fermé [x,x+1].
Il existe c dans le même intervalle mais ouvert, tel que .
Donc : . Or .
On a ainsi : . Puis :.
Et on conclut avec la croissance stricte de la fonction exponentielle.

Exercice 3. Montrer que :

On veut demontrer que . Il est naturel d'introduire les deux fonctions P et Q
, et . On remarque que P(1)=0=Q(-1)=0 ce qui permet de les factoriser.
On arrive à : P(x)=(1-x)(2x+1)2,et Q(x)=(1+x)(2x-1)2. On en déduit que P et Q sont positives sur l'intervalle, puis le résultat.

Exercice 4. Soit . Montrer que

On va raisonner par équivalence, et utiliser le fait que deux nombres positifs et leurs carrés sont rangés dans le même ordre.
(1)

Exercice 5. Soient des réels. Démontrer les équivalences suivantes.

Les implications Leftarrow sont immédiates. Pour les réciproques de 1 et 3, on démontre la proposition contraposée.
1- La contraposée il existe tel que est vraie, par exemple, pour .
2- On remarque que , et on est ramené au (1)
3- La contraposée il existe tel que est vraie, par exemple, pour .
4- On remarque que , et on est ramené au (3)

Exercice 6. Majoration d'une suite par l'étude d'une fonction.
Montrer que la valeur maximale de la suite définie par : est
On utilisera l'étude de la fonction définie sur par

L'idée est naturelle de prendre le log de l'expression pour ôter la puissance n-ième de .
. D’où l'introduction de la fonction f indiquée, que l'on va étudier.
f est dérivable sur et . On voit, en faisant le tableau de variation que f est croissante sur [], décroissante sur [ ].
De plus, et, comme , on obtient le résultat.

Exercice 7. Inégalités dans .
  1. Soit , montrer que :
  2. Soit . Montrer que : :

1 - Notons tout d'abord que tout se passe dans . Appelons a le partie réelle de z et b sa partie imaginaire. Pour l'inégalité de gauche, il faut démontrer que . En élevant tout au carré (possible) on arrive après calcul à: . Ce qui est vrai et prouve la première inégalité. La seconde se traite à peu près de la même façon.
2 - Dans l'expression , valide puisque et donc que , on reconnait la somme des n+1 premiers termes d'une suite géométrique, de premier terme 1 et de raison z. Donc . En utilisant l'inégalité triangulaire, cela permet alors d'écrire :

Inéquations : Exercices

Avant d'étudier cette page, on consultera, si nécessaire, la partie F du cours Activité inconnue .

Exercices. À résoudre sans étude de fonctions, mais en utilisant les propriétés de l'ordre de .
  1. Résoudre l'inéquation : , en séparant les cas suivant le signe de x+1.
  2. Quelles sont les valeurs de x vérifiant :

    Attention au signe du dénominateur !

  3. Quelles sont les valeurs de x vérifiant :

    Attention au signe du dénominateur !

    .

  4. Quelles sont les valeurs de x vérifiant :

    .

Exercice. Résoudre les inéquations :

La racine carrée est-elle définie ?

1- S=
2- S

Exercices.
  1. Inéquations avec valeurs absolues
  2. Trouver l'erreur !
  3. Inéquations à résoudre

Inéquations avec paramètres

Exercice 1. Résoudre et discuter suivant les valeurs du paramètre m, l'inéquation : >
Voici la solution par étape :

On regroupera tout dans le membre de gauche, en réduisant au même dénominateur. On obtient une fraction qui doit être strictement positive.


Il s'agit alors d'étudier le signe des trois termes x+3m-2, x-2, x+1. Il faut donc prévoir un (en fait plusieurs) tableaux de signe.
Il sera judicieux d'écrire que x+3m-2= x-(2-3m).

Trois cas vont se présenter suivant la position de 2-3m par rapport à -1 et 2 (valeurs interdites pour x)
  • 2-3m < -1 < 2, c'est-à-dire m >1
  • -1 < 2-3m <2, c'est-à-dire 0 < m < 1
  • 2 <2-3m, c'est-à-dire m < 0


Résolvons le premier des trois cas, pour m >1. On fait donc un tableau de signe avec les trois termes et en dernière ligne.
On obtient la solution suivante : Dans le cas m > 1, l'ensemble des solutions est .
Les deux autres cas mentionnées ci-dessus se traitent de la même façon.
On n'oubliera pas les deux cas particuliers m=1 et m=0.
Traitons le premier. Pour m=1, on a (2-3m) = -1, et , avec . L'inéquation s'écrit , et donc pour m=1, l'ensemble des solutions est

Exercice 2. Trouver les valeurs du paramètre m pour lesquelles lesquelles l'inéquation suivante est vérifiée pour tout x réel.

On remarquera que le dénominateur de la fraction est strictement positif pour tout réel x. On multiplie donc les deux membres de l'équation par x2 + x+ 1 et on obtient une inéquation équivalente du type , elle-même équivalente à -B < A < B. Deux inégalités à résoudre...


L'inéquation est vérifiée pour tout x réel si m vérifie -5 < m < 1.

Quelles sont les méthodes ?

Considérons une fonction f de sur , par exemple .
Est-elle bornée si x varie dans un intervalle donné I, par exemple ? On peut évidemment faire une étude complète de la fonction (bien compliquée dans ce cas particulier), mais souvent une estimation suffit, encore qu'elle ne fournisse pas toujours le meilleur encadrement possible...

Dans notre exemple, f se présente comme une fraction : pour majorer f, nous allons (comme il a été vu dans la page Borner une fraction )

En conclusion, on peut dire que, sur , la fonction est majorée par 24 et même par 8 si on a été plus courageux.

Remarque. Toutefois, si l'on trace la courbe représentative de la fonction f (ici avec Geogebra), on obtient ceci :

La représentation graphique ci-dessus de la fonction f montre qu'en réalité sur elle est comprise entre 0 et un peu moins de 2,5...
Ceci ne remet pas en question le travail fait, mais prouve que l’encadrement obtenu par ces majorations et minorations est assez large mais c'est souvent suffisant.

Majoration sous condition

Exercices. Démontrer les implications suivantes :
  1. Solution
    Par hypothèse le réel x est dans l'intervalle , l'expression de la valeur absolue d'un produit et l'inégalité triangulaire nous permettent de majorer le numérateur :

    D'autre part le dénominateur vaut 6- x2 dans l'intervalle considéré donc est minoré par 2. En combinant ces deux résultats, on obtient l'implication cherchée.
  2. Solution
    Quand x est positif, exp (-x) est positif et majoré par 1, on obtient donc :

    Quand x est supérieur à 3, alors on a , donc on obtient
    d'où l'inégalité : qui permet d'obtenir l'implication

  3. Solution
    Par hypothèse, si , x-2 est compris entre -1 et 1 et comme la fonction cosinus est paire et décroissante sur , l'expression est positif et minoré par . De plus x est minoré par 1 et x+2 est majoré par 5. On obtient donc

    Pour , on a : (on est aussi autorisé à prendre une calculatrice...). Ce qui est équivalent à d'où on tire :

    .

Limite finie d'une suite

La définition suivante est formellement la même dans ou , avec cette différence : la notation désigne une valeur absolue dans et un module dans .

Définition.
Soit une suite numérique, à valeur dans ou . On dit que la suite converge vers le nombre l si :

tel que

On note alors :

Graphiquement, cela signifie qu'une valeur étant fixée, alors au-delà du rang n0 (qui dépend du choix de ), tous les termes de rang supérieurs à n0 sont dans l’intervalle [ ] dans le cas réel, et dans le disque de centre l et de rayon dans le cas complexe.

Dans le graphique ci-dessous, pour une suite un convergeant vers 2, on a tracé les points de coordonnée (n,un) pour . On constate que rapidement tous les points se situent à l'intérieur de la bande entre y=1,5 et y=2,5.

Exemple. On considère la suite définie par . Montrer avec la définition ci-dessus que la suite tend vers 2.
À partir de quel entier n0 la quantité sera-t-elle inférieure à ?

Ici, on résout des inéquations : On se donne donc un petit dans et on cherche les n vérifiant : on a les équivalences suivantes

La valeur n0 qui répond à la définition de la limite est la valeur trouvée, mais, comme elle n'est très probablement pas entière, on prendra où E[a] est la partie entière de a.
Pour , on trouve n0=25.
On notera que l'on a ici raisonné par équivalence.


On transforme l'expression et on utilise les règles de majoration et minoration d'une fraction :

= = .

On peut minorer par n, puis par 10, ce qui est acquis dès que .
On obtient ainsi leq
Pour , on trouve n0=60, compatible avec l'hypothèse . Ce résultat est moins précis que le résultat précédent mais on a raisonné directement par majoration et minoration ce qui est dans l'esprit de ce document.

Limite infinie d'une suite

Définitions.
Soit une suite à valeur dans .
  • On dit que tend vers lorsque n tend vers si

    tel que

    On note alors :
  • On dit que tend vers lorsque n tend vers si

    tel que

    On note alors :
Remarque.

Un certain nombre de suites "de référence" tendent vers . Par exemple, les suites (avec ); ; ; ... Ces suites seront largement utilisées pour des majorations ou minorations de suites plus complexes, en utilisant les théorèmes de comparaison, voir par exemple un Théorème de comparaison pour les suites .

Exercice. Avec des fonctions trigonométriques
Exercice. Montrer que toutes les suites arithmétiques de raison r non nulle tendent vers l'infini.
Même question avec les suites géométriques de raison q > 1.

On peut démontrer par récurrence les formules un = u0 + n r et vn = v0 qn.
Pour traiter la suite géométrique, poser q=1+x avec x >0. Commencer à développer à l'aide de la formule du binôme de Newton et minorer judicieusement.

Exercice. On considère la suite définie par la relation de récurrence . Que peut-on dire de cette suite dans la cas ? dans le cas u0 > 1 ?

Théorème de comparaison pour les suites

Cet énoncé résulte facilement de la définition d'une suite tendant vers l'infini.

Théorème.
Soit et deux suites vérifiant :
  1. Il existe un rang n0 tel que pour tout
  2. La suite tend vers .
Alors la suite tend vers .
En présence d'une suite (vn) dont on pense qu'elle tend vers , on peut chercher à la minorer par une des suites de référence rappelées à la page précédente, ou une suite connue dont on connait le comportement, et on conclura par ce théorème.
Exemple. Déterminer la limite en de la suite définie par .
Solution : Cette suite est positive. On minore le numérateur et on majore le dénominateur et on obtient et . On en déduit une minoration de un par le terme général d'une suite qui tend vers l'infini : . Cela démontre l'égalité
Exercice. On considère la suite définie, pour , par . Montrer avec la définition ci-dessus, et en utilisant des techniques de majoration/minoration, que cette suite tend vers .

Pour rester dans l'esprit du document, on procéde par minoration:

On se donne un nombre réel et on cherche un entier n0 répondant à la définition.
Si on choisit n tel que , on peut écrire les inégalités : , et en particulier .
il suffit donc de choisit pour n0 le plus petit entier naturel n tel que , par exemple , où E(a) est la partie entière du réel a.
Ici, nous avons montré que la suite minorante tend vers l'infini et nous avons ainsi conclu avec la définition sans invoquer le théorème.

Exercice. Montrer que la suite définie, pour , par tend vers .

Les facteurs correspondants à des valeurs de k comprises entre 1 et n sont supérieurs ou égaux à . Les autres sont supérieurs à 1, on obtient donc . La suite est une suite géométrique de raison supérieure à 1, donc elle tend vers , ainsi que , grâce au théorème de comparaison.

Exercice. Comparaison de suites.

Une définition de limite

Définition.

Soit A un sous-ensemble de et f une fonction définie sur A à valeurs dans . Soit b un réel (n'appartenant pas nécessairement à A, mais tel que f soit « définie au voisinage de b »), et L un réel.
On dit que f admet L pour limite au point b, lorsque :
Pour tout réel , il existe un réel , tel que, pour tout x dans A avec , on ait

Cette proposition s'écrit aussi.

et

On note , ou .

Commentaires sur cette définition

  1. Cette définition de la limite fait appel, on le voit, à des inégalités, ce qui justifie sa présence dans ce document qui, pour autant, n'est pas consacré aux questions de limite.
  2. On notera que la valeur de la limite L est ici supposée connue.
Exercices.
  1. Calcul d'un\(epsilon\)
  2. Aide visuelle. Le nombre varepsilon étant donné, trouver en étant aidé visuellement.

En attendant d'avoir des théorèmes sur les limites, on voit que pour démontrer qu'une fonction admet la limite L quand x tend vers x0, on est amené, pour un varepsilon donné, à trouver un nombre alpha (qui n'est pas unique, bien sûr) vérifiant certaines propriétés. La méthode est décrite à cette page .

Méthode

Une lecture approximative de la définition de la limite peut conduire à une direction de travail peu précise. Certains la réduisent au schéma suivant : si x tend vers b, alors f(x) tend vers L, mettant la priorité au comportement de x, qui va entraîner celui de f(x). La démarche de la démonstration est exactement inverse.

Revenons à un peu de logique mathématique. Dans une implication , le but final est la proposition , c'est donc ce que l'on doit avoir en perspective dès le début.

On a ainsi trouvé un intervalle sur l'axe des abscisses (et qui doit être dans l'ensemble de définition) dans lequel il suffit de prendre les valeurs de x dans A, pour avoir , c'est à dire pour que que f(x) soit dans l'intervalle .

Exemple d'application.

Montrer, en utilisant la définition ci-dessus, que la fonction f définie sur par f(x) = x2+4x-5 admet pour limite 0 lorsque x tend vers 1.

Preuve : On note d'abord que le trinôme admet 1 et -5 pour racines. Donc , et on a fait apparaitre la quantité
Comme x tend vers 1, on peut supposer que x est compris entre 0 et 2, mais on introduit donc une condition sur x (dont il faudra tenir compte) qui s'écrit (*).
Comme x est compris entre 0 et 2, . Cette condition nous permet donc de majorer par 7.
Donc est majoré par
Soit , pour que l'inégalité soit vérifiée, il suffit que la condition (*) soit vérifiée et qu'on ait , c'est-à-dire . Donc on choisit .

Application. Si on se donne par exemple, on obtient et on sait alors que toutes les valeurs de x se trouvant dans l'intervalle ont des images par f dans l'intervalle .

Un exemple simple

Exercice 1. Soit a, b des réels, C un réel positif, et n un entier naturel. Donner une majoration raisonnable de de la forme .
  1. avec la condition .
    Solution

    Si la condition est vérifiée, x est majoré par 3 et on peut écrire :

  2. avec la condition
    Solution


    Si x est compris entre 1/2 et 3/2, (on est alors sûr que la fonction est définie), on minore par (faire un dessin sur la droite réelle en plaçant , 1, et 2, et on majore par . On peut donc écrire que

    si x est compris entre 1/2 et 3/2 ,

  3. avec la condition
    Solution

    = =

    La fonction est définie si et seulement si x n'est pas nul, nous allons donc supposer que x est entre et , alors (x+1)2 est majoré par et est majoré par 7(x-1)2 pour faire simple.
Exercice 2. Montrer, avec la définition précédente que
Solution
.
Au voisinage de 1, on peut supposer que , et donc que (*) condition qui sera réutilisée. De plus
On a donc obtenu :
Soit , pour que l'inégalité soit vérifiée, il suffit que la condition (*) soit vérifiée et qu'on ait , c'est-à-dire .
On choisit donc
Conclusion : . Ce qui prouve le résultat cherché.
Exercice 3. Soit varepsilon un réel strictement positif. Dans chacun des cas traités au-dessus, proposer une valeur de alpha dépendant de varepsilon telle que l'implication suivante soit vraie :

Solution

Rightarrow

Une infinité de choix de sont possibles, le choix dépend de la majoration qu'on a réussi à faire. Les majorations proposées permettent d'affirmer que les valeurs de suivantes conviennent ainsi que toute valeur inférieure.
  1. . On doit choisir inférieur à 1 car la majoration n'est démontrée que pour .

    Rightarrow )

  2. .

  3. .

Approche de la définition de la limite

Question : Dans quel intervalle centré b puis-je remplacer f(x) par f(a) sans commettre une erreur supérieure à un donné à l'avance ? Cet intervalle est noté . Par exemple, dans quel voisinage de , est-on sûr de pouvoir remplacer par 2 en commettant une erreur inférieure à ?
Prenons et transformons la différence, en valeur absolue, de f(x) et de :

Maintenant nous allons majorer par une constante sur un intervalle plus petit contenu dans . D'une part est minoré par 1, d'autre part si x est supérieur à [Hypothèse que l'on fait pour être au voisinage de , mais que l'on devra contrôler ultérieurement], alors est inférieur à 4, donc

pour tout est majoré par , et par .

Remarque : si x vérifie , x vérifie aussi . La majoration est donc valide et nous avons montré l'implication suivante :

En résumé, si on choisit x entre et , on peut dire que vaut 2 à 10-3 près ou que l'erreur est au plus de 10-3. Le travail central ici est le travail de majoration, en effet ensuite la détermination de l'intervalle est immédiate. Nous pouvons utiliser ce travail de majoration pour affirmer :

Comme notre majoration n'est valide que pour x supérieur à , condition qui est vérifiée si x appartient à l'intervalle ; on impose la condition . Pour que l'implication soit vraie, il suffit donc de prendre .

Interprétation graphique

document donnant une introduction à la notion de limite.
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