Ensemble de définition d'une fonction
Ensemble de définition d'une fonction
Voici quelques exemples d'ensemble de définition, notion qui est évoquée dans le programme de seconde.
I Ensemble de définition d'une fonction : définition
Ensemble de définition d'une fonction
→ I Définition
Définition
L'ensemble des nombres réels possédant une image par une fonction
f est appelé ensemble de définition de la fonction
f.
De façon formelle, soit
f une fonction à valeurs réelles, l'ensemble de définition de
f est l'ensemble des réels
x pour lesquels l'image
f(x) existe ou pour lesquels
f(x) a un sens.
L'ensemble de définition d'une fonction
f est souvent noté
D f.
Exemple
Soit
f la fonction de la variable réelle
x définie par
f(x)=2x+1. Son ensemble de définition est
.
Exemple
Un melon coûte
2 euros pièce.
On désigne par
p la fonction qui associe à un nombre
x le prix
p(x) de
x melons. L'ensemble de définition de
p est
car on ne vend ici que des melons entiers et la formule pour la fonction
p est
p(x)=2x.
Découverte : Correspondance
II Déterminer l'ensemble de définition d'une fonction
Ensemble de définition d'une fonction
→ II Exemples
Voici quelques aides pour déterminer l'ensemble de définition d'une fonction.
II-1 Intervalles
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-1 Intervalles
Les ensembles de définition sont souvent des intervalles ou des réunions d'intervalles. L'écriture des réunions d'intervalles obéit à quelques règles simples. Elles sont explicitées dans l'aide de l'exercice 2 de cette page par son auteur Véronique Royer. Nous les rappelons ici.
- Les intervalles doivent être maximaux.
- Les intervalles doivent être deux à deux disjoints.
- Leur écriture doit suivre l'ordre des réels.
Exemple
L'écriture attendue de
est
.
- On pourrait écrire : mais dans cette écriture les intervalles ne sont pas tous maximaux.
- On a également : mais avec cette écriture les intervalles ne sont pas tous deux à deux disjoints.
- Dans l'égalité : , l'écriture ne reflète pas l'ordre des réels (par convention on écrit les plus petits nombres à gauche des plus grands).
Pour réviser :
- Ecriture des intervalles (1)
- Ecriture des intervalles (2)
II-2 Fonction affine
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-2 Fonction affine
Une fonction affine est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est
.
Pour s'entraîner : Ensemble de définition d'une fonction affine
Exemple
La fonction
f de la variable réelle
x définie par
f(x)=5x + 3 a pour ensemble de définition
.
Pour s'entraîner : Ensemble de définition d'une fonction affine
II-3 Fonction trinôme
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-3 Fonction trinôme
Une fonction trinôme est définie pour tout réel. Son ensemble de définition est
.
Exemple
La fonction
g de la variable réelle
x définie par
g(x)= -x2 +5x - 7 a pour ensemble de définition
.
II-4 Fonction quotient
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-4 Fonction quotient
Si la formule qui permet de calculer l'image
f(x) du réel
x contient un quotient, on doit exclure de l'ensemble de définition
D f les valeurs qui annulent le dénominateur de ce quotient. En effet, le quotient par zéro n'est pas défini.
Pour s'entraîner :
Exemple
Soit f la fonction de la variable réelle x définie par f(x) =.
Elle est définie quand son dénominateur n'est pas nul, c'est-à-dire pour tous les x différents de 4 et seulement ceux-là. L'ensemble de définition de la fonction f est
Pour s'entraîner :
- Ensemble de définition d'un quotient , première étape.
- Ensemble de définition d'un quotient , par étapes.
- Ensemble de définition d'un quotient , sans étape intermédiaire.
II-5 Fonction racine carrée
Ensemble de définition d'une fonction
→
II Exemples
→ II-5 Fonction racine carrée
Si la formule qui permet de calculer l'image
f(x) du réel
x contient une racine carrée, l'ensemble de définition
D f ne contient que les valeurs pour lesquelles la quantité sous la racine carrée est positive ou nulle. En effet, la racine carrée d'un nombre négatif n'est pas définie.
Pour s'entraîner :
Ensemble de définition d'une racine carrée
Exemple
Soit f une fonction de la variable réelle x définie par .
La fonction est définie pour tous les
x tels que
est positif ou nul et seulement pour ceux-ci.
La quantité
est positive ou nulle si et seulement si
4x est supérieur ou égal à
+16.
Comme le coefficient de
x est positif, cette inégalité est équivalente à
.
Sur la figure, on a tracé le graphe de la fonction g définie de dans par g(x)=. L'ensemble des x tels que est positif ou nul est représenté en vert.